求基础解系的方法如下：
确定自由未知量
设方程组为 $AX = b$，其中 $A$ 是系数矩阵，$X$ 是未知量向量，$b$ 是常数向量。
计算系数矩阵 $A$ 的秩 $r$。
自由未知量是那些在方程组中没有被明确指定的未知量，数量为 $n - r$，其中 $n$ 是未知量的总数。
对矩阵进行初等行变换
将系数矩阵 $A$ 通过初等行变换化为行最简形矩阵。行最简形矩阵的特点是：每一行的第一个非零元素（称为该行的主元）为1，且该元素所在列的其他元素均为0。
在行最简形矩阵中，标记出主元所在的列，这些列对应的未知量不是自由未知量。没有标记的列对应的未知量是自由未知量。
构造基础解系
令自由未知量分别取单位矩阵的每一列，得到 $n - r$ 个解向量。这些解向量构成了方程组的一个基础解系。
具体地，如果自由未知量是 $x_{r+1}, x_{r+2}, ldots, x_n$，则可以分别取值为 $[1, 0, ldots, 0]^T, [0, 1, ldots, 0]^T, ldots, [0, 0, ldots, 1]^T$，代入行最简形方程组求解。
验证基础解系
基础解系中的所有解向量必须是方程组的解，并且它们之间线性无关。
可以通过将基础解系中的解向量进行线性组合，验证其是否能表示方程组的所有解。
示例
假设有一个齐次线性方程组：
[
begin{cases}
2x_1 + 3x_2 - x_3 = 0
4x_1 + 5x_2 - 2x_3 = 0
end{cases}
]
确定自由未知量
系数矩阵 $A = begin{bmatrix} 2 & 3 & -1 4 & 5 & -2 end{bmatrix}$，秩 $r（A） = 2$，因此自由未知量有 $n - r = 3 - 2 = 1$ 个，即 $x_3$。
对矩阵进行初等行变换
通过初等行变换，得到行最简形矩阵：
[
begin{bmatrix}
1 & frac{5}{2} & -1
0 & -frac{1}{2} & 1
end{bmatrix}
]
标记主元所在的列，$x_1$ 和 $x_2$ 不是自由未知量，$x_3$ 是自由未知量。
构造基础解系
令 $x_3 = 1$，代入行最简形方程组：
[
begin{cases}
x_1 + frac{5}{2}x_2 - x_3 = 0
-frac{1}{2}x_2 + x_3 = 0
end{cases}
]
解得 $x_1 = -frac{5}{2}x_2$，取 $x_2 = 2$，则 $x_1 = -5$。
因此，一个基础解系为 $begin{bmatrix} -5 2 1 end{bmatrix}$。
通过以上步骤，我们求出了方程组的一个基础解系。