数学期望的计算方法取决于随机变量是离散型还是连续型。
离散型随机变量
对于离散型随机变量 （ X ），其数学期望 （ E（X） ） 是所有可能取值 （ X_1, X_2, ldots, X_n ） 及其对应概率 （ p（X_1）, p（X_2）, ldots, p（X_n） ） 的加权总和。具体计算公式为：
[ E（X） = sum_{i=1}^{n} X_i p（X_i） ]
其中，（ X_i ） 是随机变量 （ X ） 的可能取值，（ p（X_i） ） 是取该值的概率。
连续型随机变量
对于连续型随机变量 （ X ），其数学期望 （ E（X） ） 是概率密度函数 （ f（x） ） 在整个定义域上的加权积分。具体计算公式为：
[ E（X） = int_{-infty}^{infty} x f（x） , dx ]
其中，（ f（x） ） 是随机变量 （ X ） 的概率密度函数。
示例
离散型随机变量示例
假设有随机变量 （ X ） 的可能取值为 （ X = 1, 2, 3 ），对应的概率分别为 （ p（X=1） = 0.2 ）, （ p（X=2） = 0.5 ）, （ p（X=3） = 0.3 ）。则其数学期望为：
[ E（X） = 1 times 0.2 + 2 times 0.5 + 3 times 0.3 = 0.2 + 1.0 + 0.9 = 2.1 ]
连续型随机变量示例
假设有随机变量 （ X ） 的概率密度函数为 （ f（x） = frac{1}{sqrt{2pi}} e^{-frac{x^2}{2}} ）（标准正态分布）。则其数学期望为：
[ E（X） = int_{-infty}^{infty} x cdot frac{1}{sqrt{2pi}} e^{-frac{x^2}{2}} , dx = 0 ]
（标准正态分布的数学期望为0）
总结
数学期望是概率论和统计学中最基本的数学特征之一，它表示随机变量所有可能结果的加权平均。通过将每个结果与其发生的概率相乘，再将所有乘积相加，即可得到数学期望。