一本大学公费出国的申请条件及相关要求如下：
基本要求
申请者需为中华人民共和国合法公民，热爱中国，留学后愿意为社会主义现代化建设贡献力量，具备良好的政治素养和业务水平，无违法行为和不良记录，身体健康，无重大疾病及传染性疾病和精神疾病。
学术和年龄要求
申请博士研究生不得超过35周岁，必须完成硕士课程并拥有硕士学位，或国内高校或科研机构全日制优秀在读博士研究生，年龄不得超过35周岁。
申请硕士研究生不得超过30周岁，必须是优秀的本科毕业生，并且拥有学士学位。
学术成绩
学术成绩优异，需在学术上表现突出，成绩在班级或年级的前列。研究生还要求有相关的研究经验和成果。
语言能力
需具备良好的语言能力，通过语言考试，如托福（TOEFL）、雅思（IELTS）等。
综合素质
除了学术和语言能力外，还需展现出良好的综合素质，包括领导能力、团队合作精神、社会实践经验等。
推荐信
推荐信通常由申请人的导师、教授或研究合作伙伴撰写，内容应客观评价申请人的学术能力、科研潜力及个性品质，推荐人需具备较高的学术地位和声誉。
其他要求
申请者需按国家和学校的相关规定完成学业要求，积极参与科研活动，遵守当地的法律法规和校规校纪。同时还有义务在回国后为国家服务一定年限。
申请流程
提交申请材料，包括申请表、个人简历、学习成绩单、推荐信、英语成绩单、科研成果等。
参加国家统一考试和学校统一考试、面试等。
待遇和义务
公费留学生通常可获得学费、生活费、国际旅费等资助，还可能享有医疗保险、住宿安排等福利待遇。
留学生需按照国家和学校的相关规定完成学业要求，积极参与科研活动，遵守当地的法律法规和校规校纪，并在回国后为国家服务一定年限。
建议：
申请者应在本科期间努力学习，取得优异的GPA和语言成绩，积累相关科研经验，并寻找有影响力的推荐人撰写推荐信。
了解并符合目标国家和学校的具体要求，提前准备申请材料，按时参加相关考试和面试。
在留学期间，充分利用资源，积极参与科研和社会实践活动，以提升自身综合素质和国际视野。