市政监理工程师的归属主要存在以下几种情况：
政府机构聘用
市政监理工程师可以由政府机构直接聘用，承担市政工程的监理工作。在这种情况下，市政监理工程师主要由政府机构的工程技术部门进行培养和选拔。
专业监理公司委托
另一种情况是由市政工程建设方委托专业的监理公司，由这些公司完成市政工程的监理工作。在这种情况下，市政监理工程师主要靠市场竞争力进行选拔和培养。
住房和城乡建设部或其地方分支机构管辖
监理工程师归住房和城乡建设部或其地方分支机构管辖。
建设行政主管部门管辖
监理工程师也可以归建设行政主管部门管辖，具体由各地建设部门进行管理。
建设工程管理部门或监理机构管理
监理工程师通常归建设工程管理部门或者监理机构管理，这些机构可以是政府或者企业委托的第三方监督机构，负责监督工程的施工质量、进度、安全等方面。
综合以上信息，可以得出以下结论：
市政监理工程师既可以由政府机构直接聘用，也可以由专业的监理公司委托。
无论哪种情况，监理工程师都归建设相关的行政主管部门或专业机构管辖。
因此，市政监理工程师的归属主要依赖于其聘用方式及工程的具体性质，可以归为政府机构、专业监理公司、住房和城乡建设部或其地方分支机构、建设行政主管部门或建设工程管理部门等。建议根据具体情况选择合适的归属方式，以确保工程的高效和合规性。