三倍角公式的证明方法

问题描述

精选答案

证明方法主要采用三角函数的和角公式、倍角公式和恒等变换。

具体来说，三倍角公式的证明思路分为三部曲：

1. 首先，将三倍角（如3x）分解成两个角的和，例如2x+x，然后用和角公式展开。

2. 接着，利用倍角公式将展开后的式子中的倍角（如2x）统一成单角（如x），以便于进行化简。

3. 最后，对展开后的式子进行恒等变换和化简，使其成为一种便于记忆和使用的函数形式。以正弦三倍角公式sin3x = 3sinx - 4sin³x为例：

1. 将3x分解成2x+x，然后利用和角正弦公式展开：sin3x = sin(2x+x) = sin2xcosx + cos2xsinx。

2. 利用倍角正弦公式将sin2x统一成单角sinx：sin3x = 2sinxcosx + cos2xsinx。

3. 对上式进行化简，得到：sin3x = 3sinx - 4sin³x。同理，可以证明余弦三倍角公式和正切三倍角公式。总之，三倍角公式的证明方法是通过将三倍角分解成两个角的和，利用和角公式展开，再用倍角公式统一成单角，最后进行恒等变换和化简，得到一种便于记忆和使用的函数形式。