高中数学凹凸性怎么证明

问题描述

精选答案

要证明一个函数的凹凸性，我们可以使用二阶导数测试。

首先，我们需要找到函数的一阶导数和二阶导数。设函数 \\( f(x) \\) 的一阶导数为 \\( f'(x) \\)，二阶导数为 \\( f''(x) \\)。如果对于所有 \\( x \\) 在函数的定义域内，\\( f''(x) > 0 \\)，则函数是凸的（向下弯曲）；如果 \\( f''(x) < 0 \\)，则函数是凹的（向上弯曲）。例如，考虑函数 \\( f(x) = x^3 - 3x^2 + 2 \\)。计算一阶导数得到 \\( f'(x) = 3x^2 - 6x \\)，再计算二阶导数得到 \\( f''(x) = 6x - 6 \\)。令 \\( f''(x) = 0 \\) 解得 \\( x = 1 \\)。当 \\( x < 1 \\) 时，\\( f''(x) < 0 \\)，当 \\( x > 1 \\) 时，\\( f''(x) > 0 \\)。因此，在 \\( x = 1 \\) 处，函数从凹变为凸。这表明函数 \\( f(x) = x^3 - 3x^2 + 2 \\) 在 \\( x = 1 \\) 处有一个拐点，且在整个实数范围内是凸的。