不等式证明的8种方法
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一、常用基本不等式我们先来看几种平均数：常用基本不等式这四种平均数满足 Hn ≤ Gn ≤ An ≤ Qn，即调和平均数≤几何平均数≤算术平均数≤平方平均数。
我们平时做题时，遇到的不等式相关问题，基本都离不开以上几种平均数大小关系的比较。特别地，当n=3时，均值不等式：设a、b、c∈R＋，则当且仅当a＝b＝c时等号成立。新人教版 高中数学必修一一、证明不等式常用思路：不等式的证明思路和方法有：比较法、综合法、分析法、放缩法、反证法；换元法、常数代换法、几何法、数学归纳法、构造函数法等。（换元法是一个需要专门讨论的方法，这里暂不举例）1、比较法：比较法证明不等式的一般步骤：作差（作商）—变形—判断—结论．作差法：差与“0”比较。为了判断作差后的符号，经常需要把这个差变形为一个常数，或者变形为一个常数与一个或几个平方和的形式，也可变形为几个因式的积的形式，判断其正负．作商法：商与“1”相比较。作商时，需要满足两者均为正数。
2、综合法（顺推）：综合法是指从已知条件出发，经过逐步的逻辑推理，最后得到结论，其特点是“执因索果”，即由“已知”，利用已经证明过的不等式或不等式的性质逐步推向“未知”。综合法证明不等式的逻辑关系是：A B1B2…Bn B，及从已知条件 A 出发，逐步推演不等式成立的必要条件，推导出所要证明的结论 B.3、分析法（逆推）：从求证的结论出发，分析使这个结论成立的充分条件，把证明不等式转化为判定这些充分条件是否具备的问题，即“执果索因”．即从“未知”看“需知”，逐步靠拢“已知”。
4、放缩法：要证明不等式 A<B 成立，借助一个或多个中间变量通过适当的放大或缩小达到证明不等式的方法．放缩法证明不等式的理论依据主要有：
①不等式的传递性；②等量加不等量为不等量；③同分子(分母)异分母(分子)的两个分式大小的比较．常用的放缩技巧有：
①应用均值不等式进行放缩；②舍掉(或加进)一些项；③在分式中放大或缩小分子或分母。
5、反证法：即从正难则反的角度去思考，要证明不等式A>B，先假设 A≤B，由题设及其它性质，推出矛盾，从而肯定A>B. 凡涉及到的证明不等式为否定命题、惟一性命题或含有“至多”、“至少”、“不可能”、“不存在”等词语时，可以考虑用反证法．6、常数代换法常数代换是指利用某些带有常数项的恒等式，把常量化为变量代入到所求证的式子中，以到达化繁为简的目的。常用的带有常数项的恒等式，可由题目中的条件变形得到，也可用常用的公式或公式变形。
7、几何法通过构造几何图形，利用几何图形的性质来证明不等式的方法称为几何法。8、换元法9、数学归纳法：当不等式是一个与自然数 n 有关的命题，可以利用数学归纳法进行证明．10、构造法：在不等式的证明中，可根据不等式的结构特点，恰当的构造一个与不等式相关的数学模型，如构造函数、方程、数列、向量等，实现问题的转化，从而使不等式得到证明．说明：其中8换元法，有专题研究，本文不做详细讨论，9和10不属于必修一内容，本文也暂且不做讨论。不等式证明是一个非常重要的内容，在数量关系上，在对不等式证明题进行分析，寻找解(证)题的途径时，提倡综合法和分析法同时使用，如同打山洞一样，由两头向中间掘进，这样可以缩短条件与结论的距离，是数学解题分析中最有效的方法之一．作差比较法一般适用于式子为多项式、对数式、三角式等结构；作商比较法一般适用于式子为乘积、幂结构．用放缩法证不等式，将所证不等式中的某些项适当的放大或缩小(主要方法是拆分、配凑、增减项等)，可使有关项之间的不等关系更加清晰，更加强化，且有利于式子的代数变形、化简，从而达到证明的目的．这种方法灵活性较大，技巧性较强．下面具体介绍各种方法的应用.2.
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证明方法有比较法、综合法、分析法、放缩法、数学归纳法、反证法、换元法、构造法等。作差比较法：根据a-b>0↔
a>b，欲证a>b，只需证a-
b>0。换元法：换元的目的就是减少不等式中变量的个数，以使问题化难为易，化繁为简。
