判断函数的单调性并给出证明

问题描述

精选答案

要判断一个函数的单调性，需要进行如下步骤：

1. 计算函数的导数：首先，计算出函数的导数。

导数可以提供函数在各个点上的斜率信息。

2. 确定导数的正负：根据导数的值来确定函数的单调性。如果导数在某个区间上始终为正数，则函数在该区间内是严格递增的；如果导数在某个区间上始终为负数，则函数在该区间内是严格递减的。如果导数在某个区间上恒为零，说明函数在该区间上是常数，既不递增也不递减。

3. 给出证明：根据导数的正负来证明函数的单调性。使用数学推理和证明方法，根据函数导数的符号变化以及函数的定义域等相关性质，可以完整地证明函数的单调性。需要注意的是，证明函数的单调性是一项相对复杂的数学工作，具体的证明方法和步骤会根据函数的具体形式和性质而有所不同。在进行证明时，可以借助相关的数学定理和性质，如导数的定义、中值定理、微分中值定理等。如果你具体指定一个函数或提供更多的背景信息，我可以帮你提供更具体的证明步骤。

其他回答

蓝色百问

要判断函数的单调性，我们需要使用导数的知识。如果函数在某一区间内导数大于 0，则函数在该区间单调递增；如果函数在某一区间内导数小于 0，则函数在该区间单调递减。

下面是一个示例函数：f(x)=x^2-2x+1，我们来判断它在区间[1,+\\infty)上的单调性。

首先，求出函数f(x)的导数：

f^\\prime(x)=2x-2

然后，我们需要判断f^\\prime(x)在区间[1,+\\infty)上的符号。

当x\\geq1时；

2x-2\\geq0，即f^\\prime(x)\\geq0。

因此，函数f(x)在区间[1,+\\infty)上单调递增。

证明：

任取x_1,x_2\\in[1,+\\infty)，且x_1<x_2，则有：

f(x_2)-f(x_1)=x_2^2-2x_2+1-(x_1^2-2x_1+1)

化简得：

f(x_2)-f(x_1)=x_2^2-x_1^2-2x_2+2x_1

将x_2^2-x_1^2分解为(x_2+x_1)(x_2-x_1)，得：

f(x_2)-f(x_1)=(x_2+x_1)(x_2-x_1)-2(x_2-x_1)

化简得：

f(x_2)-f(x_1)=(x_2-x_1)(x_2+x_1-2)

因为x_2>x_1\\geq1，所以x_2-x_1>0，x_2+x_1-2>0，即f(x_2)-f(x_1)>0。

因此，f(x)在区间[1,+\\infty)上单调递增。