混沌常数
问题描述
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费根鲍姆常数的存在反映了混沌演化过程中的有序性。
如何解释这个常数的重要性，举一个简单的例子。让我们从一个规律滴水的水龙头开始，它的节奏是重复的“滴-滴-滴-滴…”，每一滴都跟前面的完全一样。然后我们将水龙头转开一点，水滴就会落得比之前快一些，而节奏也就相应变成了“滴-答，滴-答…”，每两滴才重复一次，前后两滴不止是大小不同，就连时间间隔也有些细微的变化。如果我们让水滴流得再稍微快一点，就会得到四滴的节奏“滴-答-滴-答…”。再快一点的话，则会产生八滴的节奏“滴-答-滴-答-滴-答-滴-答…”。也就是说，不同形式的水滴数目一直加倍。在数学模型中，这个过程会无限延续下去，节奏的周期会再变为十六滴、三十二滴、六十四滴等等。不过，想要产生周期加倍的现象，每次需要增加的水流速率却越来越小。而在某一个流速下，周期加倍的发生率会变成无限大，此时，每一滴水都不会出现重复的模式，这就是混沌现象。这种产生混沌的情节，称为“周期倍增级联”(Period-doubling cascade),菲根鲍姆发现了一个可藉实验测量的特殊数字，它与每一个周期倍增级联都有关系，这个数字的值大约是4.6692，称为菲根鲍姆常数δ，它的地位与π平起平坐，两者在数学以及数学与自然的关系中，似乎都有非比寻常的重大意义。评论
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某些数学映射用一个单独的线性参数来展示表象随机的行为，即混沌（chaos），这个参数的值在一定范围之内，参数值在被增大的过程中，其映射会在参数的一些特定值处形成分岔（bifurcations），最初是一个稳定点，随后分岔表现为在两个值之间摆动，然后分岔表现为在四个值之间摆动，以此类推。
1975年，费根鲍姆用HP-65计算器计算后得出，这种周期倍增分岔（period-doubling bifurcations）发生时的参数之间的差率是一个常数，他为此提供了数学证明。他进一步揭示了同样的现象、同样的常数适用于广泛的数学函数领域，这个普适的结论使数学家们能够在对表象不可捉摸的混沌系统的解密道路上迈出了第一步。这个“极限率”（ratio of convergence）现在通称为费根鲍姆常数，即混沌常数。
