圆锥的体积是圆柱体积的三分之一怎么用数学证明

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设圆锥的底面半径是R，高是H 以圆锥顶点为原点，以圆锥的中心线为x轴建立坐标系 则距离原点x处的截面半径是xR/H 圆锥的体积可用积分表示为 S=∫(0,H)π(xR/H)²dx，积分范围是(0,H) =∫(0,H)πx²R²/H²dx =[πx³R²/(3H²)](0,H) =[πH³R³/(3H²)]-[π×0×R²/(3H²)] =πR²H/3 即圆锥的体积等于与它等底等高的圆柱体积的3分之1初中的话可以用类似于微积分的方法证明。

设圆锥高为h，底部半径为r，把圆锥等分为k份，每份看做一个小圆柱。 则第n份圆柱的高为h/k, 半径为n*r/k。 则第k份圆柱的体积为h/k*pi*(n*r/k)^2=Pi*h*r^2*n^2/k^3 总的体积为Pi*h*r^2*(1+2^2+3^2+...+k^2)/k^3 而1+2^2+3^2+...+k^2=k*(k+1)*(2k+1)/6 则总体积为Pi*h*r^2*(1+1/k)*(2+1/k)/6 K越大，这个总体积越接近于圆锥的体积。 当K为无穷大时，则1/k等于0。即总体积为Pi*h*r^2/3,即为圆柱体积的三分之一。

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圆锥的体积是圆柱体积的三分之一用圆锥和圆柱的体积公式可以证明出来。

圆柱的体积公式是V1＝лr²h，圆锥的体积公式是V2＝лr²h/3，这里假设圆柱截面半径与圆锥底面的半径相同，且圆柱高度与圆锥的高度相同、且圆锥的锥顶尖与底面圆心的连线与圆锥底面垂直。这样圆柱与圆锥体积公式的比值B=V1/V2V1＝лr²h/лr²h/3=3。 ，即圆柱是圆锥体积的三倍。

所以，圆锥的体积是圆柱体积的三分之一用其体积的计算公式就可以得到。

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找两个等底等高的圆柱和圆锥量杯各一个，等底就是底面积相同，因为立体图形的体积可以用底面积乘高来表示

用等底等高的圆锥体积的量杯，装满水，倒入等底等高的圆柱量杯内，要三次倒满，所以等底等高的圆柱体积是圆锥体积的三倍，等底等高圆锥体积是圆柱体积的三分之一