欧几里德算法

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精选答案

The Euclidean Algorithm 欧几里德算法(又称辗转相除法)是一种用于快速寻找两个整数的最大公约数的技巧。

最大公约数 Greatest Common Divisor (GCD)：整数 A 和 B 的最大公约数是指能够同时整除 A 和 B 的最大整数。使用欧几里德算法寻找 GCD(A,B) 的过程如下：欧几里德算法使用了下述特性：如果 A 和 B 其中一个为 0，便可利用前两个特性得出 GCD。 第三个特性帮助我们将大而复杂的问题化简为小而容易解决的问题。 欧几里德算法先利用第三个特性迅速化简问题，直至可以通过前两个特性求解为止。 证明 GCD(A,0)=A的过程如下： GCD(0,B)=B的证明过程与此类似，区别仅在于用 B 替换 A。先证明较简单的 GCD(A,B)=GCD(B,A-B)，再证明 GCD(A,B)=GCD(B,R)根据定义 GCD(A,B) 可均分 A。因此，A 一定是 GCD(A,B) 的倍数，即 X⋅GCD(A,B)=A ，此处的 X 是某个整数。 根据定义 GCD(A,B) 可均分 B。因此，B 一定是 GCD(A,B) 的倍数，即 Y⋅GCD(A,B)=B ，此处的 Y 是某个整数。根据 A-B=C 可得出：由此可见 GCD(A,B) 可均分 C。 上图的左侧部分展示了此证明，提取如下：证明 GCD(B,C) 均分 A 根据定义 GCD(B,C) 可均分 B。因此，B 一定是 GCD(B,C) 的倍数，即 M⋅GCD(B,C)=B ，此处的 M 是某个整数。 根据定义 GCD(B,C) 可均分 C。因此，C 一定是 GCD(B,C) 的倍数，即 N⋅GCD(B,C)=B ，此处的 N 是某个整数。根据 A-B=C 可得出:B+C=A M⋅GCD(B,C) + N⋅GCD(B,C) = A (M + N)⋅GCD(B,C) = A 由此可见 GCD(B,C) 可均分 A。 下图展示了此证明：证明 GCD(A,B)=GCD(A,A-B) 根据定 GCD(A,B) 均分 B 同时，已证明 GCD(A,B) 均分 C 因此，GCD(A,B) 是 B 和 C 的公约数 由于 GCD(B,C) 是 B 和 C 的最大公约数，所以 GCD(A,B) 必须小于或等于 GCD(B,C)。根据定义 GCD(B,C) 均分 B 同时，已证明 GCD(B,C) 均分 A 因此，GCD(B,C) 是 B 和 A 的公约数 由于 GCD(A,B) 是 A 和 B 的最大公约数，所以 GCD(B,C) 必须小于或等于 GCD(A,B)。∵ GCD(A,B)≤GCD(B,C) 且 GCD(B,C)≤GCD(A,B) ∴ GCD(A,B)=GCD(B,C) 即 GCD(A,B)=GCD(B,A-B)下图的右侧部分展示了此证明的图示：前面已证明了 GCD(A,B)=GCD(B,A-B) 另外，对于 GCD( ) 而言，括号中各项的顺序并不重要，因此 GCD(A,B)=GCD(A-B,B) 那么，如果反复应用 GCD(A,B)=GCD(A-B,B)，便可得到： GCD(A,B)=GCD(A-B,B)=GCD(A-2B,B)=GCD(A-3B,B)=...=GCD(A-Q⋅B,B) 由于 A= B⋅Q + R 可得 A-Q⋅B=R，所以GCD(A,B)=GCD(R,B)。 由于括号中各项的顺序并不重要，因此最终可得： GCD(A,B)=GCD(B,R) 找寻 270 和 192 的最大公约数：A=270, B=192A=192, B=78A=78, B=36A=36, B=6A=6, B=0从上面的过程可以看出： ∵ GCD(270,192) = GCD(192；78) = GCD(78；36) = GCD(36；6) = GCD(6,0) = 6 ∴ GCD(270,192) = 6