裂项求和的八种形式

问题描述

精选答案

裂项求和是指将一个多项式的一系列项拆开成若干个小多项式的和。

下面是裂项求和的八种形式：

1. 等差数列求和公式：$1+2+3+...+n=\\frac{n(n+1)}{2}$

2. 等差数列求和公式的推广：$a+(a+d)+(a+2d)+...+(a+(n-1)d)=\\frac{n(2a+(n-1)d)}{2}$

3. 平方和公式：$1^2+2^2+3^2+...+n^2=\\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$

4. 立方和公式：$1^3+2^3+3^3+...+n^3=\\left[\\frac{n(n+1)}{2}\\right]^2$

5. $a^n-b^n$的因式分解公式：$a^n-b^n=(a-b)(a^{n-1}+a^{n-2}b+...+ab^{n-2}+b^{n-1})$

6. $a^n+b^n$的因式分解公式（n为奇数）：$a^n+b^n=(a+b)(a^{n-1}-a^{n-2}b+...+ab^{n-2}-b^{n-1})$7. $a^n+b^n$的因式分解公式（n为偶数）：$a^n+b^n=(a+b)(a^{n-1}-a^{n-2}b+...-ab^{n-2}+b^{n-1})$8. 二项式定理：$(a+b)^n=\\sum_{k=0}^n\\binom{n}{k}a^{n-k}b^k$，其中$\\binom{n}{k}=\\frac{n!}{k!(n-k)!}$表示n个不同元素中取k个元素的组合数。