点到线的距离公式

问题描述

精选答案

距离公式中的直线方程为Ax+By+C=0，点P的坐标为(x0,y0)。

点到直线距离是连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短，这条垂线段的长度。目标在于通过对点到直线距离公式的推导，提高学生对数形结合的认识，加深用“计算”来处理“图形”的意识。

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点到直线的距离公式为：d = |Ax0 + By0 + C| / √(A^2 + B^2)，其中，(x0,y0)为点的坐标，A、B、C分别为直线的一般式中的系数。这个公式可以解释为，垂直于直线的线段长度即为点到直线的距离，而一般式中的系数A、B、C组合起来可以确定垂直于直线的线段的长度，并且将其与点到直线的距离统一在一个公式中。该公式可以延伸应用于解决空间中点到平面的距离问题。

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答：点到线的距离公式如下：

设直线L的方程为Ax+By+C=0，点P的坐标为（x0，y0），则点P到直线L的距离为：

定义法证明：

根据定义，点P（x_，y_）到直线l：Ax+By+C=0的距离是点P到直线l的垂线

段的长。

设点P到直线的垂线为l'，垂足为Q，则l'的斜率为B/A则l'的解析式为y-y_=（B/A）（x-x_）。

把l和l'联立得l与l'的交点Q的坐标为（（B^2x_-ABy_-AC）/（A^2+B^2），（A^2y_-ABx_-BC）/（A^2+B^2））由两点间距离公式

得：

PQ^2=[（B^2x_-ABy_-AC）/（A^2+B^2）-x0]^2+[（A^2y_-ABx_-BC）/（A^2+B^2）-y0]^2=[（-A^2x_-ABy_-AC）/（A^2+B^2）]^2