圆内接四边形的最大面积

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精选答案

给以下参考迹庆仔请自行融会贯通，这样才有进步！如果不对你现在的题目，也要留着，一定差空用得上！ 圆内接四边形ABCD，AB=a，BC=b，CD=c，DA=d，p=(a+b+c+d)/2，求证:圆内接四边形面积S=√[(p-a)(p-b)(p-c)(p-d)].对于任意凸四边形ABCD，它的面积公式为:[2t表示两对角之和]S=√[(p-a)(p-b)(p-c)(p-d)-abcd(cost)^2].(1)当t=180°即为:S=√[(p-a)(p-b)(p-c)(p-d)].(2)因此对于给定的四边长的四边形以圆内接四边形的面积最大。

（1）,(2)均可用余弦定理证明姿汪。下面给出一种新证法.证明当圆内接四边形ABCD为矩形时，(2)式显然成立。当圆内接四边形ABCD不是矩形时，总有一组对边延长后交于一点，不妨设CB与DA延长后交于E，设CE=x,DE=y，则由海仑公式得:S(ECD)=√[(x+y+c)*(x+y-c)*(x-y+c)*-x+y+c)]/4.因为ΔDAB∽ΔECD，所以S(EAB)/S(ECD)=a^2/c^2,即[S(ECD)-S(EAB)]/S(ECD)=(c^2-a^2)/c^2，S/S(ECD)=(c^2-a^2)/c^2.因为x/c=(y-d)/a;y/c=(x-b)/c.由此可得:x+y=c(b+d)/(c-a),x-y=c(b-d)/(c+a).故有x+y+c=c(b+c+d-a)/(c-a),x+y-c=c(b+d+a-c)/(c-a),x-y+c=c(a+b+c-d)/(c+a),-x+y+c=c(c+d+a-b)/(c+a).因而得:S(ECD)=[c^2/(c^2-a^2)]*√[(p-a)(p-b)(p-c)(p-d)]].故得:S=√[(p-a)(p-b)(p-c)(p-d)].证毕。