在考研中，经典的反例通常用于说明某些数学概念或性质在特定条件下的例外情况。以下是一些常见的经典反例：
狄利克雷函数
狄利克雷函数是一个经典的数学反例，用于说明函数在某点连续但不可导。具体来说，狄利克雷函数定义为：
[ D（x） = begin{cases}
1, & text{如果 } x text{ 是有理数}
0, & text{如果 } x text{ 是无理数}
end{cases} ]
虽然狄利克雷函数在有理数和无理数上分别取值为1和0，是连续的，但在任意小的去心邻域内都不连续，因此不可导。
连续但不可导的函数
有些函数在某个区间内连续，但在某些点上不可导。例如，绝对值函数 （ |x| ） 在 （ x = 0 ） 处连续但不可导，因为左右导数不相等。
无穷小的性质
在微积分中，无穷小是一个重要的概念。然而，并非所有趋近于0的量都是无穷小。例如，当 （ x ） 趋近于0时，（ x^2 ） 和 （ x ） 都是趋近于0的量，但 （ x^2 ） 是 （ x ） 的高阶无穷小，即 （ lim_{x to 0} frac{x^2}{x} = 0 ）。
极限的存在性与运算
有些数列或函数的极限存在，但在进行某些运算后可能消失。例如，考虑数列 （ {（-1）^n} ），其极限不存在，因为交替趋近于1和-1。但如果我们考虑数列 （ {（-1）^{2n}} ），其极限为1，因为所有项都是正的。
这些反例在考研数学中经常被用来加深对概念的理解和掌握，帮助考生避免常见的错误和误解。建议考生在复习过程中多做练习题和反例，以增强解题能力和对数学概念的深入理解。