在考研数学中，有一些常用的特例可以帮助我们快速解决问题或验证某些性质的正确性。以下是一些常见的特例：
指数函数和对数函数
指数函数 （ e^x ） 是严格单调递增的，且其导数仍然是 （ e^x ）。例如，当 （ x = 0 ） 时，（ e^0 = 1 ）。
对数函数 （ ln x ） 是严格单调递增的，其导数是 （ frac{1}{x} ）。例如，当 （ x = 1 ） 时，（ ln 1 = 0 ）。
三角函数
正弦函数 （ sin x ） 和余弦函数 （ cos x ） 是周期函数，周期为 （ 2pi ）。例如，当 （ x = frac{pi}{2} ） 时，（ sin frac{pi}{2} = 1 ），（ cos frac{pi}{2} = 0 ）。
正弦函数和余弦函数是奇函数和偶函数，即 （ sin（-x） = -sin x ） 和 （ cos（-x） = cos x ）。例如，当 （ x = pi ） 时，（ sin pi = 0 ），（ cos pi = -1 ）。
正切函数 （ tan x ） 是奇函数，即 （ tan（-x） = -tan x ）。例如，当 （ x = frac{pi}{4} ） 时，（ tan frac{pi}{4} = 1 ）。
双曲函数
双曲正弦函数 （ sinh x ） 和双曲余弦函数 （ cosh x ） 具有与指数函数和对数函数类似的性质，但涉及双曲率。例如，当 （ x = 0 ） 时，（ sinh 0 = 0 ），（ cosh 0 = 1 ）。
特殊值和特殊点
在某些数学问题中，特定点的函数值或导数值可能是解决问题的关键。例如，在微积分中，某些函数在 （ x = 0 ） 处的导数可能具有特殊性质。
反例法
当需要证明某个命题不成立时，举一个反例即可。例如，在证明某个函数在某个区间内不单调时，只需找到一个在该区间内函数值上升和下降的例子即可。
这些特例在考研数学中非常有用，可以帮助我们快速理解问题并找到解决方案。建议在实际解题过程中，多积累这些特例，以便在需要时能够迅速应用。